Distribution binomiale : définition, formule, analyse et exemple

 

Qu'est-ce que la distribution binomiale ?

La distribution binomiale est une distribution statistique qui résume la probabilité qu'une valeur prenne l'une des deux valeurs indépendantes sous un ensemble donné de paramètres ou d'hypothèses.

Les hypothèses sous-jacentes à la distribution binomiale sont qu’il n’y a qu’un seul résultat pour chaque essai, que chaque essai a la même probabilité de succès et que chaque essai est mutuellement exclusif ou indépendant les uns des autres.

Comprendre la distribution binomiale

Pour commencer, le « binôme » dans la distribution binomiale signifie deux termes : le nombre de réussites et le nombre de tentatives. Chacun est inutile sans l’autre.

La distribution binomiale est une distribution discrète courante utilisée en statistiques, par opposition à une distribution continue, telle que la distribution normale . En effet, la distribution binomiale ne compte que deux états, généralement représentés par 1 (pour un succès) ou 0 (pour un échec), compte tenu du nombre d'essais dans les données. La distribution binomiale représente ainsi la probabilité de x succès dans n essais, étant donné une probabilité de succès p pour chaque essai.

La distribution binomiale résume le nombre d'essais, ou d'observations, lorsque chaque essai a la même probabilité d'atteindre une valeur particulière. La distribution binomiale détermine la probabilité d'observer un nombre spécifique de résultats positifs dans un nombre spécifié d'essais.

La distribution binomiale est souvent utilisée dans les statistiques des sciences sociales comme élément de base pour les modèles de variables de résultat dichotomiques, comme par exemple si un républicain ou un démocrate remportera une élection à venir, si un individu mourra dans un laps de temps spécifié, etc. applications dans la finance, la banque et l’assurance, entre autres secteurs.

Analyse de la distribution binomiale

La valeur attendue, ou moyenne, d'une distribution binomiale est calculée en multipliant le nombre d'essais (n) par la probabilité de succès (p), ou n × p.

Par exemple, la valeur attendue du nombre de têtes dans 100 essais de têtes ou de queues est de 50, ou (100 × 0,5). Un autre exemple courant de distribution binomiale est l'estimation des chances de succès d'un tireur de lancer franc au basket-ball, où 1 = un panier réussi et 0 = un échec.

La fonction de distribution binomiale est calculée comme suit :

P _{( x : n , p )} =  ⁿ C _x p ^x ( 1 - p ) ^{n - x}

Où:

• n est le nombre d'essais (occurrences)
• x est le nombre d'essais réussis
• p est la probabilité de succès dans un seul essai
• ⁿ C _x est la combinaison de n et x. Une combinaison est le nombre de façons de choisir un échantillon de x éléments parmi un ensemble de n objets distincts où l'ordre n'a pas d'importance et où les remplacements ne sont pas autorisés. Notez que _n C _x = n ! /r! ( n - r ) ! ), où ! est factoriel (donc, 4! = 4 × 3 × 2 × 1).

La moyenne de la distribution binomiale est np et la variance de la distribution binomiale est np (1 − p). Lorsque p = 0,5, la distribution est symétrique autour de la moyenne, comme lorsque l'on lance une pièce de monnaie, car les chances d'obtenir pile ou face sont de 50 %, soit 0,5. Lorsque p > 0,5, la courbe de distribution est asymétrique vers la gauche. Lorsque p < 0,5, la courbe de distribution est asymétrique vers la droite.

La distribution binomiale est la somme d'une série de multiples essais de Bernoulli indépendants et identiquement distribués. Dans un essai de Bernoulli, l’expérience est dite aléatoire et ne peut avoir que deux résultats possibles : le succès ou l’échec.

Par exemple, lancer une pièce de monnaie est considéré comme un essai de Bernoulli ; chaque essai ne peut prendre qu'une des deux valeurs (pile ou face), chaque succès a la même probabilité et les résultats d'un essai n'influencent pas les résultats d'un autre. La distribution de Bernoulli est un cas particulier de distribution binomiale où le nombre d'essais n = 1.

Exemple de distribution binomiale

La distribution binomiale est calculée en multipliant la probabilité de réussite élevée à la puissance du nombre de réussites et la probabilité d'échec élevée à la puissance de la différence entre le nombre de réussites et le nombre d'essais. Ensuite, multipliez le produit par la combinaison du nombre d’essais et de réussites.

Par exemple, supposons qu'un casino crée un nouveau jeu dans lequel les participants peuvent parier sur le nombre de pile ou de face lors d'un nombre spécifié de lancers de pièces. Supposons qu'un participant veuille parier 10 $ qu'il y aura exactement six faces en 20 lancers de pièces. Le participant souhaite calculer la probabilité que cela se produise et, par conséquent, il utilise le calcul de la distribution binomiale.

La probabilité a été calculée comme suit : (20! / (6! × (20 - 6)!)) × (0,50) ⁽⁶⁾ × (1 - 0,50) ^{(20 - 6)} . Par conséquent, la probabilité qu’exactement six faces se produisent en 20 lancers de pièces est de 0,0369, soit 3,7 %. La valeur attendue était de 10 faces dans ce cas, le participant a donc fait un mauvais pari. Le graphique ci-dessous montre que la moyenne est de 10 (la valeur attendue) et que les chances d'obtenir six faces se trouvent sur la queue gauche en rouge. Vous pouvez voir qu’il y a moins de chances qu’il y ait six faces que sept, huit, neuf, 10, 11, 12 ou 13 faces.

Alors, comment cela peut-il être utilisé en finance ? Un exemple : disons que vous êtes une banque, un prêteur , qui souhaite connaître à trois décimales près la probabilité qu'un emprunteur particulier fasse défaut. Quelles sont les chances qu’un si grand nombre d’emprunteurs fassent défaut au point de rendre la banque insolvable ? Une fois que vous utilisez la fonction de distribution binomiale pour calculer ce nombre, vous avez une meilleure idée de la manière de fixer le prix de l’assurance et, en fin de compte, du montant à prêter et à conserver en réserve. 

Qu'est-ce que la distribution binomiale ?

La distribution binomiale est une distribution de probabilité statistique qui indique la probabilité qu'une valeur prenne l'une des deux valeurs indépendantes sous un ensemble donné de paramètres ou d'hypothèses.

Comment la distribution binomiale est-elle utilisée ?

Ce modèle de distribution est utilisé dans les statistiques mais a des implications en finance et dans d'autres domaines. Les banques peuvent l’utiliser pour estimer la probabilité de défaut d’un emprunteur particulier, le montant à prêter et le montant à conserver en réserve. Il est également utilisé dans le secteur des assurances pour déterminer le prix des polices et évaluer les risques .

Pourquoi la distribution binomiale est-elle importante ?

La distribution binomiale est utilisée pour déterminer la probabilité de réussite ou d'échec dans une enquête ou une expérience répétée plusieurs fois. Il n'y a que deux résultats potentiels pour ce type de distribution. Plus généralement, la distribution est un élément important de l'analyse des ensembles de données pour estimer tous les résultats potentiels des données et leur fréquence. Prévoir et comprendre le succès ou l’échec des résultats est essentiel au développement commercial.

L'essentiel

La distribution binomiale est une distribution statistique importante qui décrit les résultats binaires (tels qu'un tirage au sort, une réponse oui/non ou une condition marche/arrêt). Comprendre ses caractéristiques et ses fonctions est important pour l'analyse des données dans divers contextes qui impliquent un résultat prenant l'une des deux valeurs indépendantes.

Il a des applications dans les sciences sociales, la finance, la banque, les assurances et d’autres domaines. Par exemple, il peut être utilisé pour estimer si un emprunteur fera défaut sur un prêt, si un contrat d’options se terminera dans le cours ou hors du cours, ou si une entreprise manquera ou dépassera les estimations de bénéfices.