Intégral

Le terme "intégrale" peut faire référence à un certain nombre de concepts différents en mathématiques. La signification la plus courante est l'objet fondamental du calcul correspondant à la somme de pièces infinitésimales pour trouver le contenu d'une région continue. D'autres utilisations de « intégrale » incluent des valeurs qui prennent toujours des valeurs entières (par exemple, l'incorporation intégrale , le graphe intégral ), les objets mathématiques pour lesquels les entiers forment des exemples de base (par exemple, le domaine intégral ) et les valeurs particulières d'une équation (par exemple, la courbe intégrale ),

En calcul , une intégrale est un objet mathématique qui peut être interprété comme une aire ou une généralisation d' aire . Les intégrales, avec les dérivées , sont les objets fondamentaux du calcul . D'autres mots pour intégrale incluent primitive et primitive. Le processus de calcul d'une intégrale est appelé intégration (un terme plus archaïque pour l' intégration est quadrature ), et le calcul approximatif d'une intégrale est appelé intégration numérique .

L' intégrale de Riemann est la définition intégrale la plus simple et la seule habituellement rencontrée en physique et en calcul élémentaire . En fait, selon Jeffreys et Jeffreys (1988, p. 29), "il apparaît que les cas où ces méthodes [c'est-à-dire les généralisations de l'intégrale de Riemann] sont applicables et que celle de Riemann [la définition de l'intégrale] ne l'est pas sont trop rares en physique pour rembourser la difficulté supplémentaire."

L' intégrale de Riemann de la fonction sur de à s'écrit

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Notez que si , l'intégrale s'écrit simplement

(2)

par opposition à .

Chaque définition d'une intégrale est basée sur une mesure particulière . Par exemple, l' intégrale de Riemann est basée sur la mesure de Jordan et l' intégrale de Lebesgue est basée sur la mesure de Lebesgue . De plus, selon le contexte, l'une quelconque d'une variété d'autres notations intégrales peut être utilisée. Par exemple, l' intégrale de Lebesgue d'une fonction intégrable sur un ensemble mesurable par rapport à une mesure s'écrit souvent 

(3)

Dans le cas où l'ensemble dans () est un intervalle , la notation "indice-exposant" de ( 2 ) est généralement adoptée. Une autre généralisation de l'intégrale de Riemann est l ' intégrale de Stieltjes , où la fonction intégrande définie sur un intervalle fermé peut être intégrée à une fonction bornée à valeur réelle définie sur , dont le résultat a la forme

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ou équivalent

(5)

Encore un autre scénario dans lequel la notation peut changer se produit dans l'étude de la géométrie différentielle , tout au long de laquelle l' intégrande  est considérée comme une forme k différentielle plus générale et peut être  intégrée sur un ensemble en utilisant l'une ou l'autre des notations équivalentes

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où est la mesure de Lebesgue mentionnée ci-dessus. Il convient de noter que la notation du côté gauche de l'équation () est similaire à celle de l'expression () ci-dessus.

Il existe deux classes d'intégrales (de Riemann) : les intégrales définies telles que ( 5 ), qui ont des limites supérieures et inférieures, et les intégrales indéfinies , telles que

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qui s'écrivent sans limites. Le premier théorème fondamental du calcul permet de calculer les intégrales définies en termes d' intégrales indéfinies , puisque si est l' intégrale indéfinie pour , alors

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De plus, le premier théorème fondamental du calcul peut être réécrit plus généralement en termes de formes différentielles (comme dans () ci-dessus) pour dire que l' intégrale d'une forme différentielle sur la frontière  d'une variété orientable  est égale à la dérivée extérieure  de sur l'intérieur de , c'est-à-dire

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Écrit sous cette forme, le premier théorème fondamental du calcul est connu sous le nom de théorème de Stokes .

Puisque la dérivée d'une constante est nulle, les intégrales indéfinies ne sont définies que jusqu'à une constante arbitraire d'intégration  , c'est-à-dire,

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Wolfram Research maintient un site Web http://integrals.wolfram.com/ qui peut trouver l' intégrale indéfinie de nombreuses fonctions courantes (et moins courantes).

La différenciation des intégrales conduit à des identités utiles et puissantes. Par exemple, si est continue, alors

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qui est le premier théorème fondamental du calcul . D'autres identités dérivées intégrales incluent

(12)

la règle intégrale de Leibniz

(13)

(Kaplan 1992, p. 275), sa généralisation

(14)

(Kaplan 1992, p. 258), et

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comme on peut le voir en appliquant ( 14 ) sur le côté gauche de ( 15 ) et en utilisant l'intégration partielle.

D'autres identités intégrales incluent

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(17)

			(18)
			(19)

et l'identité intégrale amusante

(20)

où est une fonction et

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tant que et est réel (Glasser 1983).

Les intégrales avec des exposants rationnels peuvent souvent être résolues en faisant la substitution , où est le plus petit commun multiple du dénominateur des exposants.