Factorielle !

Exemple : 4 ! est un raccourci pour 4 × 3 × 2 × 1

La fonction factorielle (symbole : ! ) dit de multiplier tous les nombres entiers de notre nombre choisi jusqu'à 1. Exemples: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1

On dit généralement (par exemple) 4 ! comme "4 factoriel", mais certaines personnes disent "4 shriek" ou "4 bang"

Calcul à partir de la valeur précédente

On peut facilement calculer une factorielle à partir de la précédente :

As a table:

n	n!
1	1	1	1
2	2 × 1	= 2 × 1!	= 2
3	3 × 2 × 1	= 3 × 2!	= 6
4	4 × 3 × 2 × 1	= 4 × 3!	= 24
5	5 × 4 × 3 × 2 × 1	= 5 × 4!	= 120
6	etc	etc

• Pour calculer 6 !, multipliez 120 par 6 pour obtenir 720
• Pour calculer 7 !, multipliez 720 par 7 pour obtenir 5040
• Etc

Exemple : 9 ! équivaut à 362 880. Essayez de calculer 10 !

10! = 10 × 9!

10! = 10 × 362,880 = 3,628,800

La règle est donc :

n! = n × (n−1)!

Qui dit

"la factorielle de n'importe quel nombre est ce nombre multiplié par la factorielle de (ce nombre moins 1) "

Alors 10 ! = 10 × 9 !, ... et 125 ! = 125 × 124 !, etc.

Qu'en est-il du "0 !"

Zero Factorial est intéressant... il est généralement admis que 0 ! = 1 .

Cela peut sembler amusant que multiplier aucun nombre ensemble donne 1, mais suivons le schéma à rebours à partir de, disons, 4 ! comme ça:

Et dans de nombreuses équations utilisant 0 ! = 1 est tout simplement logique.

Exemple : de combien de façons peut-on arranger les lettres (sans les répéter) ?

• Pour 1 lettre « a » il n'y a qu'un 1 voie:
• Pour 2 lettres "ab" il y a 1×2=2 façons : ab, ba
• Pour 3 lettres "abc" il y a 1×2×3=6 façons : abc acb cab bac bca cba
• Pour 4 lettres "abcd" il y a 1×2×3×4=24 manières : (essayez-le vous-même !)
• etc

La formule est simplement n !

Maintenant... de combien de manières pouvons-nous arranger les lettres ? Juste à sens unique, un espace vide :

Alors 0 ! = 1

Où factorielle est-elle utilisée ?

Un domaine dans lequel ils sont utilisés est dans les combinaisons et les permutations . Nous avons eu un exemple ci-dessus, et voici un exemple légèrement différent :

Exemple: Combien de façons différentes peuvent 7 personnes viennent 1 ^er , 2 ^e et 3 ^e ?

La liste est assez longue, si les 7 personnes s'appellent a,b,c,d,e,f et g alors la liste comprend :

abc, abd, abe, abf, abg, acb, acd, ace, acf, ... etc.

La formule est 7!(7−3)! = 7!4!

Écrivons les multiplicateurs en toutes lettres :

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 14 × 3 × 2 × 1  =  7 × 6 × 5

C'était chouette. Le 4 × 3 × 2 × 1 "annulé", ne laissant que 7 × 6 × 5 . Et:

7 × 6 × 5  =  210

Il y a donc 210 façons différentes pour 7 personnes de venir 1 ^er , 2 ^ème et 3 ^ème .

Terminé!

Exemple : Qu'est-ce que 100 ! / 98 !

En utilisant nos connaissances de l'exemple précédent, nous pouvons passer directement à ceci :

100!98! = 100 × 99 = 9900

Une petite liste

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5,040
8	40,320
9	362,880
10	3,628,800
11	39,916,800
12	479,001,600
13	6,227,020,800
14	87,178,291,200
15	1,307,674,368,000
16	20,922,789,888,000
17	355,687,428,096,000
18	6,402,373,705,728,000
19	121,645,100,408,832,000
20	2,432,902,008,176,640,000
21	51,090,942,171,709,440,000
22	1,124,000,727,777,607,680,000
23	25,852,016,738,884,976,640,000
24	620,448,401,733,239,439,360,000
25	15,511,210,043,330,985,984,000,000

Comme vous pouvez le voir, ça grossit rapidement.

Si vous avez besoin de plus, essayez la calculatrice de précision complète .

Faits intéressants

Six semaines, c'est exactement 10 ! secondes (=3 628 800)

Voici pourquoi :

Secondes en 6 semaines :		60 × 60 × 24 × 7 × 6
Factorisez quelques nombres :		(2 × 3 × 10) × (3 × 4 × 5) × (8 × 3) × 7 × 6
Réarranger:		2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 3 × 3 × 10
Enfin 3×3=9 :		2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

 

Il y en a 52 ! façons de mélanger un jeu de cartes.

Soit 8,0658175... × 10 ⁶⁷

Mélangez simplement un jeu de cartes et il est probable que vous soyez la première personne avec cet ordre particulier.

 

Il y en a environ 60 ! atomes dans l'Univers observable.

60 ! est d'environ 8,320987... × 10 ⁸¹ et les estimations actuelles se situent entre 10 ⁷⁸ et 10 ⁸² atomes dans l'Univers observable.

 

70 ! est d'environ 1,197857... x 10 ¹⁰⁰ , ce qui est juste plus grand qu'un Googol (le chiffre 1 suivi de cent zéros).

100 ! est d'environ 9.3326215443944152681699238856 x 10 ¹⁵⁷

200 ! est d'environ 7.8865786736479050355236321393 x 10 ³⁷⁴

 

Sujets avancés

Et les négatifs ?

Pouvons-nous avoir des factorielles pour des nombres comme -1, -2, etc ?

Non. Les factorielles entières négatives ne sont pas définies.

 

Commençons par 3 ! = 3 × 2 × 1 = 6 et descendre :

	2!	=	3! / 3	=	6 / 3	=	2
	1!	=	2! / 2	=	2 / 2	=	1
	0!	=	1! / 1	=	1 / 1	=	1	(c'est pourquoi 0!=1)
	(−1)!	=	0! / 0	=	1 / 0	=		oups, la division par zéro n'est pas définie

Et à partir de là, toutes les factorielles entières sont indéfinies.

 

Et les décimales ?

Pouvons-nous avoir des factorielles pour des nombres comme 0,5 ou -3,217 ?

Oui nous pouvons! Mais nous devons entrer dans un sujet appelé "Fonction Gamma", qui est au-delà de cette page.

Et ils peuvent aussi être négatifs (sauf pour les entiers).

Demi factoriel

Mais je peux vous dire que la factorielle de la moitié (½) est la moitié de la racine carrée de pi .

Voici quelques factorielles "demi-entier":

(−½)!	=	√π
(½)!	=	(½)√π
(3/2)!	=	(3/4)√π
(5/2)!	=	(15/8)√π

Il suit toujours la règle selon laquelle « la factorielle de tout nombre est ce nombre multiplié par la factorielle de (1 plus petit que ce nombre) », car

(3/2)! = (3/2) × (1/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)!

Pouvez-vous deviner quoi (7/2) ! est?