Équations polynomiales

 

Les polynômes  sont l'un des concepts importants des mathématiques, tout comme les équations polynomiales, où la relation entre les nombres et les variables est expliquée dans un modèle.

En mathématiques, il existe une variété d'équations formées avec des expressions algébriques. Les équations polynomiales sont également une forme d'équations algébriques.

Cette mini-leçon donnera un aperçu de la définition des équations polynomiales, de la formule polynomiale, de la différence entre polynôme et équation, formule d'équation polynomiale et exemples d'équation polynomiale.

Voyons ce que le professeur d'Henry avait à lui demander.

Elle a demandé « Si l'équation donnée était une équation polynomiale ou non ? »

Restez à l'écoute d'Henry pour en savoir plus sur les équations polynomiales !!

Plan de cours 

1.	Qu'est-ce qu'une équation polynomiale?
2.	Penser hors de la boîte!
3.	Remarques importantes sur les équations polynomiales
4.	Exemples résolus sur les équations polynomiales
5.	Questions interactives sur les équations polynomiales

introduction

En algèbre, presque toutes les équations sont des équations polynomiales.

Considérez l'équation ci-dessous :

$2X^2+3X+1=0$

Ici,  $2X^2+3X+1$est fondamentalement une expression polynomiale qui a été fixée égale à zéro, formant ainsi une équation polynomiale.

Maintenant, explorons plus de détails sur les équations polynomiales.

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Qu'est-ce qu'une équation polynomiale?

Définition de l'équation polynomiale

Une équation formée avec des variables , des exposants et des coefficients ainsi que des opérations et un signe égal est appelée une équation polynomiale.

Il a des exposants différents. Le plus élevé donne le degré de l'équation.

Habituellement, l'équation polynomiale est exprimée sous la forme de ${\mathrm{une}}_m\left(X^m\right)$.

• a est le coefficient
• x est la variable
• n est l'exposant.

En mettant les valeurs de a et n, on obtient une fonction polynomiale de degré n.

$F\left(X\right)={\mathrm{une}}_m\left(X^m\right)={\mathrm{une}}_m{X}^m+....+{\mathrm{une}}_0=0$

Pour tout polynôme P(x), l'équation polynomiale sera P(x) = 0

Exemples d'équations polynomiales

Exemples	Équation polynomiale ou non	Raison
$X^2+3\sqrt{X}+1=0$	Non	puissance fractionnaire de $X$ c'est à dire; $\frac{1}{2}$ qui est une valeur non entière
$X^2+\sqrt{3}X+1=0$	Oui	la constante a une puissance fractionnaire, pas la variable

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Formule d'équation polynomiale

Formule d'équation polynomiale générale

$F\left(X\right)={\mathrm{une}}_m{X}^m+..+rX+s$

•  n est un nombre naturel

${\mathrm{une}}^m-b^m=(\mathrm{une}-b)({\mathrm{une}}^{m-1}+{\mathrm{une}}^{m-2}b+\dots )$

•  n est un nombre pair

${\mathrm{une}}^m+b^m=(\mathrm{une}+b)({\mathrm{une}}^{m-1}-{\mathrm{une}}^{m-2}b+\dots )$

•  n est un nombre impair

${\mathrm{une}}^m+b^m=(\mathrm{une}+b)({\mathrm{une}}^{m-1}-{\mathrm{une}}^{m-2}b+\dots )$

 

Groupe de réflexion

1. Déterminer quelques caractéristiques d'une équation algébrique à ne pas considérer comme une équation polynomiale.

Types d'équations polynomiales

1. Équations monomiales/Équations linéaires

 Équations à un terme variable.

$\mathrm{une}X+b=0$

2. Équations binomiales/équations quadratiques

Équations à deux termes variables.

$\mathrm{une}{X}^2+bX+c=0$

3. Équations trinômes/Équations cubiques :

Équations à trois termes variables. 

$\mathrm{une}{X}^3+b{X}^2+cX+\mathrm{ré}=0$

 

Notes IMPORTANTES

1. Le  degré d'une équation polynomiale est la puissance la plus élevée de la variable dans l'équation.
2. Résoudre une équation, c'est trouver les valeurs des variables qui satisfont à l'équation. Vous pouvez en apprendre plus à ce sujet sur la page de résolution de polynômes.
3. Vous pouvez également trouver une équation polynomiale lorsque les racines sont connues.

Quelle est la différence entre polynôme et équation?  

Un polynôme est le terme parent utilisé pour décrire un certain type d'expressions algébriques qui contiennent des variables, des constantes et impliquent les opérations d' addition , de soustraction , de multiplication et de division ainsi que des puissances positives associées aux variables.

Exemple : 2x + 3

Une équation est un énoncé mathématique avec un symbole « égal à » entre deux expressions algébriques qui ont des valeurs égales. 

Exemple : 2x + 3 = 7

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Exemples résolus

Exemple 1

 

 

Aide Justin à déterminer si les équations données ci-dessous sont des équations polynomiales ou non.

• $\sqrt{X^2+{\mathrm{oui}}^2}+2=0$
• $X^2+3X+2=0$
• $\frac{X}{2}+3X^2+5=0$
• $3X^3-\sqrt{2}X+1=0$
• $\frac{2}{X+3}=0$

 Solution

Justin vérifiera deux conditions dans les équations données.

• Si l'équation a un exposant non entier de la variable.
• Si l'équation a une variable au dénominateur.

Si une équation a les caractéristiques mentionnées ci-dessus, ce ne sera pas une équation polynomiale.

Équations	Critères à vérifier	Polynôme ou pas
$\sqrt{X^2+{\mathrm{oui}}^2}=0$	L'équation a un exposant non entier. $\frac{1}{2}$ est l'exposant de la variable ici à l'intérieur d'un radical.	Non
$X^2+2=0$	-	Oui
$\frac{X}{2}+3X^2=0$	-	Oui
$3X^3-\sqrt{2}X=0$	-	Oui
$\frac{2}{X+3}=0$	L'équation se compose d'opérations autres que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division par des constantes, car ici 2 est divisé par une variable.	Non

Exemple 2

 

Rustin a compris un problème de mathématiques et a formé une équation $2X^4-5X^3+9X^3-3X^4=0$. Aidez-le à le simplifier davantage et à le classer en équation monôme, binomiale ou trinôme !

Solution

Simplification de l'équation :

$2X^4-5X^3+9X^3-3X^4=4X^3-X^4$.

Qui donne, $4X^3-X^4=0$.

La sortie obtenue a deux termes qui signifient qu'il s'agit d'une équation binomiale.

$??$ C'est une équation binomiale.

Exemple 3

 

 

Maria a rencontré un problème selon lequel $(2X+6)$ et $(X-8)$ sont les racines de l'équation polynomiale.

Pouvez-vous trouver l'équation polynomiale lorsque ses racines respectives sont données?

Justifiez votre réponse.

Solution

Racines de l'équation = $(2X+6)$ et $(X-8)$

Pour tout polynôme P(x), l'équation polynomiale sera P(x) = 0

Cette moyenne (2x+6) (x-8) = 0 donnera l'équation polynomiale.

Résolvons-le.

$2X(X-8)+6(X-8)=0$

$2X^3-16X+6X-48=0$ 

$2X^3-\mathrm{dix}X-48=0$ 

Par conséquent, l'équation polynomiale est $2X^3-\mathrm{dix}X-48=0$ 

$??$ $2X^3-\mathrm{dix}X-48=0$

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Questions interactives  

Voici quelques activités à pratiquer.

Sélectionnez/Tapez votre réponse et cliquez sur le bouton « Vérifier la réponse » pour voir le résultat.

Q1.

Laquelle des équations suivantes n'est pas une équation polynomiale ?

• $X^3-4X^2+5\sqrt{X}+1=0$

  $X^3-4X^2+5\sqrt{X}+1=0$
• $X^3-5X^2+2=0$

  $X^3-5X^2+2=0$
• $X^2+4=0$

  $X^2+4=0$

Q.2

Aide Ian à classer chacune des expressions polynomiales suivantes comme monôme, binôme ou trinôme où $X$, $\mathrm{oui}$ et $z$ sont des variables.

Monômes	Binômes	Trinôme

$\frac{1}{2}{\mathrm{oui}}^3-\mathrm{0,9}{\mathrm{oui}}^2+\frac{\mathrm{oui}}{2}$

$-{\left(\frac{4}{9}\right)}^3+{\mathrm{oui}}^2$

$\frac{z}{3}$

$\sqrt[3]{315}{X}^3-X+1$

$\frac{X}{12}-1000$

$9.1{\mathrm{oui}}^3$

$\sqrt{2}{z}^2-\sqrt{3}z+\sqrt{11}$

$\sqrt{5}X$

$\sqrt{3}-7z^2$

Q3.

Aide Silvia à trouver le degré de chacune des équations polynomiales suivantes.

Polynômes	Degré
$5X^4+\mathrm{dix}{X}^3+2X+9=0$
$7{\mathrm{oui}}^2+2\mathrm{oui}+3=0$

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Résumons 

Nous espérons que vous avez apprécié l'apprentissage des équations polynomiales avec les simulations et les questions pratiques. Maintenant, vous serez en mesure de résoudre facilement des problèmes sur les équations polynomiales en mathématiques avec plusieurs exemples mathématiques que vous avez appris aujourd'hui.

À propos de Cuemath 

Chez  Cuemath , notre équipe d'experts en mathématiques se consacre à rendre l'apprentissage amusant pour nos lecteurs préférés, les étudiants !

Grâce à une approche apprentissage-enseignement-apprentissage interactive et engageante, les enseignants explorent tous les angles d'un sujet.

Qu'il s'agisse de feuilles de travail, de cours en ligne, de sessions de doute ou de toute autre forme de relation, c'est la pensée logique et l'approche d'apprentissage intelligent en laquelle nous, chez Cuemath, croyons.

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Foire aux questions (FAQ)

1. Comment sauras-tu si une équation est une équation polynomiale ?

Il s'agit essentiellement d'un ensemble d'expressions polynomiales égales à 0.

2. Quelle est la différence entre un polynôme et une équation ?

Un polynôme est un certain type d'expressions algébriques qui contiennent des variables, des constantes et impliquent les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division ainsi que les seules puissances associées aux variables.

Une équation est un énoncé mathématique avec un symbole « égal à » entre deux expressions algébriques qui ont des valeurs égales. 

3. Quels sont les différents types d'équations polynomiales ?

Les différents types d'équations polynomiales sont les équations monomiales, les équations binomiales, les équations trinômes et les équations quadratiques.

4. Qu'est-ce qu'une formule polynomiale ?

Une formule polynomiale est une fonction polynomiale. 

$F\left(X\right)={\mathrm{une}}_m{X}^m+\dots \dots ..+rX+s$

5. Qu'est-ce qui n'est pas une équation polynomiale ?

Toute équation algébrique avec un exposant négatif ou un exposant fractionnaire n'est pas une équation polynomiale.

6. Quelle est la forme générale d'une équation polynomiale ?

La forme générale de l'équation polynomiale : $F\left(X\right)={\mathrm{une}}_m{X}^m+.......+{\mathrm{une}}_{1}X+{\mathrm{une}}_0=0$

7. Comment résolvez-vous des équations polynomiales ?

Les équations polynomiales peuvent être résolues en les factorisant en termes de degré et de variables présentes dans l'équation.

8. Comment trouver le degré des équations polynomiales ?

La puissance la plus élevée du terme variable dans le polynôme est le degré du polynôme.

9. Comment trouve-t-on les racines d'une équation polynomiale ?

Les racines d'un polynôme sont les valeurs de x, auxquelles la fonction est égale à zéro, et sont donc appelées zéros du polynôme. Les racines d'un polynôme peuvent être calculées par factorisation ainsi que par graphique.