Compléments, intersections et unions

Certains événements peuvent être naturellement exprimés en termes d'autres événements, parfois plus simples.

Compléments

Définition

Le complément d'un événement A dans un espace d'échantillon S , notée A ^c , est la collection de tous les résultats en S qui ne sont pas des éléments de l'ensemble A . Elle correspond à nier toute description verbale de l'événement A .

EXEMPLE 10

Deux événements liés à l'expérience de lancer un seul dé sont E : "le nombre lancé est pair" et T : "le nombre lancé est supérieur à deux". Trouvez le complément de chacun.

Solution:

Dans l'espace échantillon $S = {1,2,3,4,5,6}$ les ensembles de résultats correspondants sont $E = {2,4,6}$ et $T = {3,4,5,6} .$ Les compléments sont $E^{c} = {1,3,5}$ et $T^{c} = {1,2} .$

En mots, les compléments sont décrits par "le nombre obtenu n'est pas pair" et "le nombre obtenu n'est pas supérieur à deux". Bien sûr, des descriptions plus simples seraient « le nombre obtenu est impair » et « le nombre obtenu est inférieur à trois ».

S'il y a 60% de probabilité de pluie demain, quelle est la probabilité d'un beau temps ? La réponse évidente, 40%, est un exemple de la règle générale suivante.

Règle de probabilité pour les compléments

P ({UNE}^{c}) = 1 - P (UNE)

Cette formule est particulièrement utile lorsqu'il est difficile de trouver directement la probabilité d'un événement.

EXEMPLE 11

Trouvez la probabilité qu'au moins une face apparaisse dans cinq lancers d'une pièce équitable.

Solution:

Identifiez les résultats par des listes de cinq h et t , comme $t t h t t$ et $h h t t t .$ S'il est fastidieux de tous les lister, il n'est pas difficile de les compter. Pensez à utiliser un diagramme en arbre pour le faire. Il y a deux choix pour le premier lancer. Pour chacun d'eux, il y a deux choix pour le deuxième lancer, d'où $2 \times 2 = 4$ résultats pour deux lancers. Pour chacun de ces quatre résultats, il y a deux possibilités pour le troisième lancer, d'où $4 \times 2 = 8$ résultats pour trois lancers. De même, il existe $8 \times 2 = 16$ résultats pour quatre lancers et enfin $16 \times 2 = 32$ résultats pour cinq lancers.

Soit O l'événement "au moins une face". Il existe de nombreuses façons d'obtenir au moins une face, mais une seule pour ne pas y parvenir : toutes les faces. Ainsi, bien qu'il soit difficile de lister tous les résultats qui forment O , il est facile d'écrire $O^{c} = {t t t t t} .$ Puisqu'il y a 32 résultats également probables, chacun a une probabilité de 1/32, donc $P (O^{c}) = 1 ∕ 32$ , Par conséquent $P (O) = 1 - 1 ∕ 32 \approx 0.97$ ou environ 97% de chances.

Figure 3.4 L'intersection des événements A et B

Intersection d'événements

Définition

L' intersection des événements A et B , notée A ∩ B , est la collection de tous les résultats qui sont des éléments de deux ensembles A et B . Cela correspond à la combinaison des descriptions des deux événements en utilisant le mot « et ».

Dire que l'événement A ∩ B a eu lieu signifie que sur un essai particulier de l'expérience à la fois A et B se sont produits. Une représentation visuelle de l'intersection des événements A et B dans un échantillon d'espace S est donnée à la figure 3.4 « L'intersection des événements » . L'intersection correspond à la région ombrée en forme de lentille qui se trouve à l'intérieur des deux ovales.

EXEMPLE 12

Dans l'expérience de rouler une seule puce, trouver l'intersection E ∩ T du événement E : « le nombre roulé est même » et T : « le nombre roulé est supérieur à deux. »

Solution:

L'espace échantillon est $S = {1,2,3,4,5,6} .$ Étant donné que les résultats communs aux $E = {2,4,6}$ et $T = {3,4,5,6}$ sont 4 et 6, $E \cap T = {4,6} .$

En mots, l'intersection est décrite par "le nombre obtenu est pair et est supérieur à deux". Les seuls numéros entre un et six, à la fois uniforme et supérieure à deux quatre et six, ce qui correspond à E ∩ T donnés ci - dessus.

EXEMPLE 13

Un seul dé est lancé.

Supposons que le dé soit juste. Trouvez la probabilité que le nombre obtenu soit à la fois pair et supérieur à deux.
Supposons que le dé a été « chargé » de sorte que $P (1) = 1 ∕ 12$ , $P (6) = 3 ∕ 12$ , et les quatre résultats restants sont également probables les uns avec les autres. Trouvez maintenant la probabilité que le nombre obtenu soit à la fois pair et supérieur à deux.

Solution:

Dans les deux cas, l'espace échantillon est $S = {1,2,3,4,5,6}$ et l'événement en question est l'intersection $E \cap T = {4,6}$ de l'exemple précédent.

Puisque le dé est juste, tous les résultats sont également probables, donc en comptant nous avons $P (E \cap T) = 2 ∕ 6 .$
Les informations sur les probabilités des six résultats que nous avons jusqu'à présent sont
$\begin{matrix} Résultat & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ Probablity & \frac{1}{12} & p & p & p & p & \frac{3}{12} \end{matrix}$

Depuis $P (1) + P (6) = 4 ∕ 12 = 1 ∕ 3$ et les probabilités des six résultats totalisent 1,

P (2) + P (3) + P (4) + P (5) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Ainsi $4 p = 2 ∕ 3$ , donc $p = 1 ∕ 6 .$ En particulier $P (4) = 1 ∕ 6 .$ Par conséquent

P (ET \cap T) = P (4) + P (6) = \frac{1}{6} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}

Définition

Événements A et B sont mutuellement exclusifs si elle n'a pas d' éléments en commun.

Pour A et B, n'avoir aucun résultat en commun signifie précisément qu'il est impossible pour A et B de se produire sur un seul essai de l'expérience aléatoire. Cela donne la règle suivante.

Règle de probabilité pour les événements mutuellement exclusifs

Les événements A et B s'excluent mutuellement si et seulement si

P (UNE \cap B) = 0

Tout événement A et son complément A ^c s'excluent mutuellement, mais A et B peuvent s'exclure mutuellement sans être complémentaires.

EXEMPLE 14

Dans l'expérience de lancer un seul dé, trouvez trois choix pour un événement A de sorte que les événements A et E : « le nombre lancé est pair » s'excluent mutuellement.

Solution:

Depuis $E = {2,4,6}$ et nous voulons que A n'ait aucun élément en commun avec E , tout événement qui ne contient pas de nombre pair fera l'affaire. Trois choix sont {1,3,5} (le complément E ^c , les cotes), {1,3} et {5}.

Union des événements

Définition

L' union des événements A et B , notée A ∪ B , est la collection de tous les résultats qui sont des éléments de l' un ou l'autre des ensembles A et B , ou de deux d'entre eux. Cela correspond à combiner les descriptions des deux événements en utilisant le mot « ou ».

Dire que l'événement A ∪ B a eu lieu signifie que sur un essai particulier de l'expérience soit A ou B se sont produits (ou les deux a fait). Une représentation visuelle de l'union des événements A et B dans un espace échantillon S est donnée à la figure 3.5 « L'union des événements » . L'union correspond à la région ombrée.

Figure 3.5 L'union des événements A et B

EXEMPLE 15

Dans l'expérience du lancer d'un seul dé, trouvez l'union des événements E : "le nombre obtenu est pair" et T : "le nombre obtenu est supérieur à deux".

Solution:

Étant donné que les résultats qui sont dans l'un ou l'autre $E = {2,4,6}$ ou $T = {3,4,5,6}$ (ou les deux) sont 2, 3, 4, 5 et 6, $E \cup T = {2,3,4,5,6} .$ Notez qu'un résultat tel que 4 qui se trouve dans les deux ensembles n'est toujours répertorié qu'une seule fois (bien qu'à proprement parler il ne soit pas incorrect de le répertorier deux fois).

En mots, l'union est décrite par "le nombre obtenu est pair ou supérieur à deux". Chaque nombre entre un et six , sauf le premier est soit même ou est supérieure à deux, ce qui correspond à E ∪ T donnée ci - dessus.

EXEMPLE 16

Une famille de deux enfants est choisie au hasard. Soit B l'événement selon lequel au moins un enfant est un garçon, soit D l'événement selon lequel les sexes des deux enfants diffèrent, et soit M l'événement selon lequel les sexes des deux enfants correspondent. Trouvez B ∪ D et $B \cup M .$

Solution:

Un exemple d'espace pour cette expérience est $S = {b b, b g, g b, g g}$ , où la première lettre désigne le sexe du premier enfant et la deuxième lettre désigne le sexe du deuxième enfant. Les événements B , D et M sont

B = {b b, b g, g b} D = {b g, g b} M = {b b, g g}

Chaque résultat dans D est déjà dans B , donc les résultats qui sont dans au moins l'un ou l'autre des ensembles B et D est juste l'ensemble B lui-même : $B \cup D = {b b, b g, g b} = B .$

Chaque résultat dans l'ensemble de l'espace échantillon S est dans au moins l'un ou l'autre des ensembles B et M , donc $B \cup M = {b b, b g, g b, g g} = S .$

La règle de probabilité additive suivante est une formule utile pour calculer la probabilité de $A \cup B .$

Règle de probabilité additive

P (UNE \cup B) = P (UNE) + P (B) - P (UNE \cap B)

L'exemple suivant, dans lequel nous calculons la probabilité d'une union à la fois en comptant et en utilisant la formule, montre pourquoi le dernier terme de la formule est nécessaire.

EXEMPLE 17

Deux dés équitables sont lancés. Trouvez les probabilités des événements suivants :

les deux dés montrent un quatre
au moins un dé montre un quatre

Solution:

Comme ce fut le cas avec le lancer de deux pièces identiques, l'expérience réelle dicte que pour que l'espace échantillon ait des résultats également probables, nous devrions lister les résultats comme si nous pouvions distinguer les deux dés. On pourrait imaginer que l'un d'eux est rouge et l'autre est vert. Ensuite, tout résultat peut être étiqueté comme une paire de nombres comme dans l'affichage suivant, où le premier nombre de la paire est le nombre de points sur la face supérieure du dé vert et le deuxième nombre de la paire est le nombre de points sur la face supérieure du dé rouge.

\begin{matrix} 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\ 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 \\ 51 & 52 & 53 & 54 & 55 & 56 \\ 61 & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \end{matrix}

Il y a 36 résultats également probables, dont exactement un correspond à deux quatre, donc la probabilité d'une paire de quatre est de 1/36.
D'après le tableau, nous pouvons voir qu'il y a 11 paires qui correspondent à l'événement en question : les six paires de la quatrième rangée (le dé vert indique un quatre) plus les cinq paires supplémentaires autres que la paire 44, déjà comptée, dans le quatrième colonne (le dé rouge est quatre), donc la réponse est 11/36. Pour voir comment la formule donne le même nombre, notons A _G l'événement selon lequel le dé vert est un quatre et A _R l'événement selon lequel le dé rouge est un quatre. Alors clairement en comptant on obtient $P (A_{G}) = 6 ∕ 36$ et $P (A_{R}) = 6 ∕ 36 .$ Depuis $A_{G} \cap A_{R} = {44}$ , $P (A_{G} \cap A_{R}) = 1 ∕ 36$ ; c'est le calcul de la partie (a), bien sûr. Ainsi par la règle additive de probabilité,
$P ({UNE}_{G} \cup {UNE}_{R}) = P ({UNE}_{G}) + P ({UNE}_{R}) - P ({UNE}_{G} - {UNE}_{R}) = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} - \frac{1}{36} = \frac{11}{36}$

EXEMPLE 18

Un service de tutorat est spécialisé dans la préparation des adultes aux tests d'équivalence du secondaire. Parmi tous les élèves sollicitant l'aide du service, 63 % ont besoin d'aide en mathématiques, 34 % ont besoin d'aide en anglais et 27 % ont besoin d'aide à la fois en mathématiques et en anglais. Quel est le pourcentage d'élèves qui ont besoin d'aide en mathématiques ou en anglais ?

Solution:

Imaginez choisir un élève au hasard, c'est-à-dire de manière à ce que chaque élève ait la même chance d'être sélectionné. Soit M l'événement « l'élève a besoin d'aide en mathématiques » et E l'événement « l'élève a besoin d'aide en anglais ». L'information donnée est que $P (M) = 0.63$ , $P (E) = 0.34$ , et $P (M \cap E) = 0.27 .$ La règle additive de probabilité donne

P (M \cup ET) = P (M) + P (ET) - P (M \cap ET) = 0.63 + 0.34 - 0.27 = 0.70

Notez comment le raisonnement naïf selon lequel si 63 % ont besoin d'aide en mathématiques et 34 % en anglais, alors 63 plus 34 ou 97 % ont besoin d'aide dans l'un ou l'autre donne un nombre trop élevé. Le pourcentage qui a besoin d'aide dans les deux matières doit être soustrait, sinon les personnes ayant besoin d'aide dans les deux sont comptées deux fois, une fois pour avoir besoin d'aide en mathématiques et une autre pour avoir besoin d'aide en anglais. La simple somme des probabilités fonctionnerait si les événements en question étaient mutuellement exclusifs, car alors $P (A \cap B)$ est nul et ne fait aucune différence.

EXEMPLE 19

Les volontaires pour un effort de secours en cas de catastrophe ont été classés selon leur spécialité ( C : construction, E : éducation, M : médecine) et leurs compétences linguistiques ( S : parle une seule langue couramment, T : parle couramment deux langues ou plus). Les résultats sont présentés dans le tableau de classification à double entrée suivant :

Spécialité	La capacité de la langue
Spécialité	S	T
C	12	1
ET	4	3
M	6	2

La première rangée de chiffres signifie que 12 volontaires dont la spécialité est la construction parlent couramment une seule langue, et 1 volontaire dont la spécialité est la construction parle couramment au moins deux langues. De même pour les deux autres rangées.

Un volontaire est sélectionné au hasard, ce qui signifie que chacun a une chance égale d'être choisi. Trouvez la probabilité que :

sa spécialité est la médecine et il parle deux langues ou plus ;
soit sa spécialité est la médecine, soit il parle deux langues ou plus ;
sa spécialité est autre chose que la médecine.

Solution:

Lorsque les informations sont présentées dans un tableau de classification à double entrée, il est généralement pratique de joindre au tableau les totaux des lignes et des colonnes, pour produire un nouveau tableau comme celui-ci :

Spécialité	La capacité de la langue		Le total
Spécialité	S	T	Le total
C	12	1	13
ET	4	3	7
M	6	2	8
Le total	22	6	28

La probabilité recherchée est $P (M \cap T) .$ Le tableau montre qu'il y a 2 personnes de ce type, sur 28 au total, d'où $P (M \cap T) = 2 ∕ 28 \approx 0.07$ ou environ 7% de chance.
La probabilité recherchée est $P (M \cup T) .$ Le total de la troisième ligne et le total général de l'échantillon donnent $P (M) = 8 ∕ 28 .$ Le total de la deuxième colonne et le total général donnent $P (T) = 6 ∕ 28 .$ Ainsi, en utilisant le résultat de la partie (a),
$P (M \cup T) = P (M) + P (T) - P (M \cap T) = \frac{8}{28} + \frac{6}{28} - \frac{2}{28} = \frac{12}{28} \approx 0.43$
ou environ 43% de chances.
Cette probabilité peut être calculée de deux manières. Depuis l'événement d'intérêt peut être considéré comme l'événement C ∪ E et les événements C et E sont mutuellement exclusifs, la réponse est, en utilisant les deux premiers totaux de ligne,
$P (C \cup ET) = P (C) + P (ET) - P (C \cap ET) = \frac{13}{28} + \frac{7}{28} - \frac{0}{28} = \frac{20}{28} \approx 0.71$
D'autre part, l'événement d'intérêt peut être considéré comme le complément M ^c de M , donc en utilisant la valeur de $P (M)$ calculé dans la partie (b),
$P (M^{c}) = 1 - P (M) = 1 - \frac{8}{28} = \frac{20}{28} \approx 0.71$
comme avant.

CLÉ À EMPORTER

La probabilité d'un événement qui est un complément ou une union d'événements de probabilité connue peut être calculée à l'aide de formules.

Compléments, intersections et unions

Compléments

Définition

EXEMPLE 10

Règle de probabilité pour les compléments

EXEMPLE 11

Intersection d'événements

Définition

EXEMPLE 12

EXEMPLE 13

Définition

Règle de probabilité pour les événements mutuellement exclusifs

EXEMPLE 14

Union des événements

Définition

EXEMPLE 15

EXEMPLE 16

Règle de probabilité additive

EXEMPLE 17

EXEMPLE 18

EXEMPLE 19

CLÉ À EMPORTER

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