Quelle est la différence?
Nous utilisons le mot "combinaison" de manière vague, sans penser si l' ordre des choses est important. En d'autres termes:
"Ma salade de fruits est une combinaison de pommes, raisins et bananes" Peu importe dans quel ordre sont les fruits, ils pourraient aussi être "bananes, raisins et pommes" ou "raisins, pommes et bananes", c'est le même fruit salade.
"La combinaison du coffre-fort est de 472" . Maintenantnous faisons attention de l'ordre. "724" ne fonctionnera pas, ni "247". Il doit être exactement 4-7-2 .
Ainsi, en mathématiques, nous utilisons un langage plus précis :
- Lorsque la commande n'a pas d'importance, il s'agit d'une combinaison .
- Lorsque l'ordre ne importe , il est un Permutation .
Donc, nous devrions vraiment appeler cela un « verrouillage de permutation » ! |
En d'autres termes:
Une Permutation est une Combinaison ordonnée .
 | Pour vous aider à vous souvenir, pensez " P ermutation ... P osition " |
Permutation
Il existe essentiellement deux types de permutation :
- La répétition est autorisée : comme le verrou ci-dessus. Ce pourrait être "333".
- Pas de répétition : par exemple les trois premières personnes d'une course à pied. Vous ne pouvez pas être premier et deuxième.
1. Permutations avec répétition
Ce sont les plus faciles à calculer.
Quand une chose a n types différents... on a n choix à chaque fois !
Par exemple : en choisissant 3 de ces choses, les permutations sont :
n × n × n
(n multiplié 3 fois)
Plus généralement : en choisissant r de quelque chose qui a n types différents, les permutations sont :
n × n × ... (r fois)
(En d'autres termes, il y a n possibilités pour le premier choix, ALORS il y a n possibilités pour le deuxième choix, et ainsi de suite, en multipliant à chaque fois.)
Ce qui est plus facile à écrire à l'aide d'un exposantde r :
n × n × ... (r fois) = n r
La formule est donc simplement :
| n r |
| où n est le nombre de choses parmi lesquelles choisir, et nous en choisissons r , la répétition est autorisée et l'ordre compte. |
2. Permutations sans répétition
Dans ce cas, nous devons réduire le nombre de choix disponibles à chaque fois.
En d'autres termes, il existe 3 360 façons différentes de disposer 3 boules de billard sur 16 boules.
Sans répétition, nos choix se réduisent à chaque fois.
Mais comment écrivons-nous cela mathématiquement ? Réponse : nous utilisons le "fonction factorielle"
| ! | La fonction factorielle (symbole : ! ) signifie simplement multiplier une série d'entiers naturels décroissants. Exemples:
|
| Remarque : il est généralement admis que 0 ! = 1 . Cela peut sembler amusant que multiplier aucun nombre ensemble nous donne 1, mais cela aide à simplifier beaucoup d'équations. | |
Ainsi, lorsque nous voulons sélectionner toutes les boules de billard, les permutations sont :
16 ! = 20.922.789.888.000
Mais lorsque nous voulons sélectionner seulement 3, nous ne voulons pas multiplier après 14. Comment faisons-nous cela ? Il y a une astuce : on divise par 13 !
16 × 15 × 14 × 13 × 12 × ...13 × 12 × ... = 16 × 15 × 14
C'était bien : le 13 × 12 × ... etc est "annulé", ne laissant que 16 × 15 × 14 .
La formule s'écrit :
n!(n − r) ! |
| où n est le nombre de choses parmi lesquelles choisir, et nous en choisissons r , pas de répétitions, l' ordre compte. |
Notation
Au lieu d'écrire la formule entière, les gens utilisent différentes notations telles que celles-ci :
Combinaisons
Il existe également deux types de combinaisons (rappelez-vous que l'ordre n'a pas d' importance maintenant) :
- La répétition est autorisée : comme les pièces de monnaie dans votre poche (5,5,5.10,10)
- Pas de répétition : comme les numéros de loterie (2.14,15.27,30.33)
1. Combinaisons avec répétition
En fait, ce sont les plus difficiles à expliquer, nous y reviendrons donc plus tard.
2. Combinaisons sans répétition
C'est ainsi loteriestravail. Les numéros sont tirés un par un, et si nous avons les numéros porte-bonheur (quel que soit l'ordre), nous gagnons !
La façon la plus simple de l'expliquer est de :
- supposer que l'ordre a de l'importance (c'est-à-dire les permutations),
- puis modifiez-le pour que l'ordre n'ait pas d' importance.
Pour revenir à notre exemple de boule de billard, disons que nous voulons juste savoir quelles 3 boules de billard sont choisies, pas l'ordre.
Nous savons déjà que 3 sur 16 nous ont donné 3.360 permutations.
Mais beaucoup d'entre eux sont les mêmes pour nous maintenant, parce que nous ne nous soucions pas de l'ordre !
En fait, il existe un moyen simple de déterminer combien de manières "1 2 3" pourraient être classées dans l'ordre, et nous en avons déjà parlé. La réponse est:
3 ! = 3 × 2 × 1 = 6
(Autre exemple : 4 choses peuvent être placées dans 4 ! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 manières différentes, essayez par vous-même !)
Nous ajustons donc notre formule de permutations pour la réduire du nombre de façons dont les objets pourraient être dans l'ordre (parce que leur ordre ne nous intéresse plus):
Cette formule est si importante qu'elle est souvent simplement écrite entre de grandes parenthèses comme celle-ci :
n!r!(n−r)! = (mr) |
| où n est le nombre de choses parmi lesquelles choisir, et nous en choisissons r , pas de répétition, l' ordre n'a pas d'importance. |
Il est souvent appelé "n choisissez r" (comme "16 choisissez 3")
Et est également connu sous le nom de Coefficient binomial.
Notation
Toutes ces notations signifient "n choisissez r":
N'oubliez pas la formule :
n!r!(n−r)!
Le Triangle de Pascal
Nous pouvons également utiliser Le Triangle de Pascalpour trouver les valeurs. Descendez jusqu'à la ligne "n" (la ligne du haut est 0), puis le long des "r" places et la valeur il y a notre réponse. Voici un extrait montrant la ligne 16 :
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120 560 1820 4368 ...
1. Combinaisons avec répétition
OK, maintenant nous pouvons nous attaquer à celui-ci ...
Disons qu'il existe cinq parfums de glace : banane, chocolat, citron, fraise et vanille .
Nous pouvons avoir trois boules. Combien y aura-t-il de variantes ?
Utilisons des lettres pour les saveurs : {b, c, l, s, v}. Les exemples de sélection incluent
- {c, c, c} (3 boules de chocolat)
- {b, l, v} (un chacun de banane, citron et vanille)
- {b, v, v} (un de banane, deux de vanille)
(Et juste pour être clair : il y a n=5 choses à choisir, nous en choisissons r=3 , l'
ordre n'a pas d'importance et nous pouvons répéter !)
Maintenant, je ne peux pas vous décrire directement comment calculer cela, mais je peux vous montrer une technique spéciale qui vous permet de le calculer.
Pensez à la crème glacée étant dans des boîtes, nous pourrions dire "passer la première boîte, puis prendre 3 boules, puis déplacer 3 autres boîtes jusqu'à la fin" et nous aurons 3 boules de chocolat !
C'est donc comme si nous commandions un robot pour obtenir notre glace, mais cela ne change rien, nous obtenons toujours ce que nous voulons.
Nous pouvons écrire cela comme 
(flèche signifie déplacer , cercle signifie scoop ).
En fait, les trois exemples ci-dessus peuvent s'écrire comme ceci :
| {c, c, c} (3 boules de chocolat) : | |
| {b, l, v} (un de chacun de banane, citron et vanille): |  |
| {b, v, v} (un de banane, deux de vanille): |  |
Ainsi, au lieu de nous inquiéter des différentes saveurs, nous avons une question plus simple : « de combien de façons différentes pouvons-nous organiser les flèches et les cercles ? »
Notez qu'il y a toujours 3 cercles (3 boules de glace) et 4 flèches (il faut se déplacer 4 fois pour passer du 1er au 5ème récipient).
Donc (étant général ici) il y a r + (n−1) positions, et nous voulons en choisir r pour avoir des cercles.
C'est comme dire "nous avons r + (n−1) boules de billard et voulons en choisir r ". En d'autres termes, c'est maintenant comme la question des boules de billard, mais avec des chiffres légèrement modifiés. Et on peut l'écrire ainsi :
(r + n − 1) !r!(n−1)! = (r + n − 1r) |
| où n est le nombre de choses parmi lesquelles choisir, et nous en choisissons r répétition autorisée, l' ordre n'a pas d'importance. |
Fait intéressant, nous pouvons regarder les flèches au lieu des cercles, et dire "nous avons r + (n−1) positions et voulons en choisir (n−1) pour avoir des flèches", et la réponse est la même :
Alors, qu'en est-il de notre exemple, quelle est la réponse ?
Il y a 35 façons d'avoir 3 boules de cinq parfums de glace.
En conclusion
Ouf, c'était beaucoup à absorber, alors peut-être pourriez-vous le relire pour être sûr !
Mais savoir comment ces formules fonctionnent n'est que la moitié de la bataille. Comprendre comment interpréter une situation réelle peut être assez difficile.
Mais au moins, vous connaissez maintenant les 4 variantes de « L'ordre n'a/n'a pas d'importance » et « Les répétitions sont/ne sont pas autorisées » :
| Répétitions autorisées | Pas de répétitions | |
|---|---|---|
| Permutations (l'ordre compte) : | n r | n!(n − r) ! |
| Combinaisons (l'ordre n'a pas d'importance) : | (r + n − 1) !r!(n−1)! | n!r!(n−r)! |