Une variable aléatoire continue est une variable aléatoire où les données peuvent prendre une infinité de valeurs. Par exemple, une variable aléatoire mesurant le temps mis pour faire quelque chose est continue puisqu'il y a un nombre infini de temps possibles qui peuvent être pris.
Pour toute variable aléatoire
continue avec une fonction de densité de probabilité f(x), nous avons :
∫f(x) dx = 1
pour tout x
Exemple
X est une variable aléatoire
continue avec une fonction de densité de probabilité donnée par f(x) = cx pour
0 ≤ x ≤ 1, où c est une constante. Trouver c.
Si on intègre f(x) entre 0 et 1
on obtient c/2. D'où c/2 = 1, donnant c = 2.
Fonction de
distribution cumulative (c.d.f.)
Si X est une variable aléatoire
continue avec p.d.f. f(x) définie sur a ≤ x ≤ b, alors la fonction de
répartition cumulée (c.d.f.), notée F(t) est donnée par :
Ainsi le c.d.f. se trouve en
intégrant le p.d.f. entre la valeur minimale de X et t.
Le c.d.f. peut être utilisé pour
connaître la probabilité qu'une variable aléatoire soit comprise entre deux
valeurs :
P(s X ≤ t) = la probabilité que X
soit compris entre s et t. Mais cela est égal à la probabilité que X ≤ t moins
la probabilité que X ≤ s.
[Nous voulons la probabilité que
X soit dans la zone rouge :]
D’où :
Espérance et
variance
Avec des variables aléatoires
discrètes, nous avions que l'espérance était S x P(X = x) , où P(X = x) était
le pdf. Il n'est pas surprenant que pour trouver l'espérance d'une variable
aléatoire continue, nous intégrons plutôt que somme, c'est-à-dire :
Pour tout x
Comme pour les variables
aléatoires discrètes, Var(X) = E(X2) - [E(X)]2.