La distribution de probabilité pour une variable aléatoire décrit comment les probabilités sont réparties sur les valeurs de la variablealéatoire. Pour une variable aléatoire discrète x, la distribution de probabilité est définie par une fonction de masse de probabilité, notée f(x). Cette fonction fournit la probabilité pour chaque valeur de la variable aléatoire. Dans le développement de la fonction de probabilité pour une variable aléatoire discrète, deux conditions doivent être satisfaites :
· f (x) doit être non négatif pour chaque valeur de la variable aléatoire, et
· la somme des probabilités pour chaque valeur de la variable aléatoire doit être égale à un.
Une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle sur la droite numérique réelle ou dans une collection d'intervalles. Puisqu'il y a un nombre infini de valeurs dans n'importe quel intervalle, il n'est pas significatif de parler de la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur spécifique; au lieu de cela, la probabilité qu'une variable aléatoire continue se trouve dans un intervalle donné est considérée.
Dans le cas continu, la contrepartie de la fonction de masse de probabilité est la fonction de densité de probabilité, également notée f(x). Pour une variable aléatoire continue, la fonction de densité de probabilité fournit la hauteur ou la valeur de la fonction à toute valeur particulière de x; il ne donne pas directement la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur spécifique. Cependant, l'aire sous le graphique de f(x) correspondant à un certain intervalle, obtenue en calculant l'intégrale de f(x) sur cet intervalle, fournit la probabilité que la variable prenne une valeur dans cet intervalle. Une fonction de densité de probabilité doit satisfaire à deux exigences : (1) f (x) doit être non négatif pour chaque valeur de la variable aléatoire, et (2) l'intégrale sur toutes les valeurs de la variable aléatoire doit être égale à un.
La valeur attendue, ou moyenne, d'une variable aléatoire - notée E(x) ou μ - est une moyenne pondérée des valeurs que la variable aléatoire peut prendre. Dans le cas discret, les poids sont donnés par la fonction de probabilité de masse, et dans le cas continu, les poids sont donnés par la fonction de densité de probabilité. Les formules de calcul des valeurs attendues des variables aléatoires discrètes et continues sont données par les équations suivantes respectivement.
E(x)
= Σxf(x)
E(x) = ∫xf(x)dx
La variance d'une variable aléatoire, notée Var (x) ou σ2, est une moyenne pondérée des écarts au carré de la moyenne. Dans le cas discret, les poids sont donnés par la fonction de probabilité de masse, et dans le cas continu, les poids sont donnés par la fonction de densité de probabilité. Les formules de calcul des variances des variables aléatoires discrètes et continues sont données par les deux équations suivantes, respectivement. L'écart type, noté σ, est la racine carrée positive de la variance. Étant donné que l'écart-type est mesuré dans les mêmes unités que la variable aléatoire et que la variance est mesurée en unités au carré, l'écart-type est souvent la mesure préférée.
Var(x)
= σ2 = Σ(x −
μ)2f(x) (4)
Var(x) = σ2 = ∫(x − μ)2f(x)dx (5)
Distributions de
probabilité spéciales
La distribution
binomiale
Deux des distributions de probabilités discrètes les plus largement utilisées sont le binôme et Poisson. La fonction de masse de probabilité binomiale fournit la probabilité que x succès se produiront dans n essais d'une expérience binomiale.
Une expérience binomiale a quatre propriétés :
(1) elle consiste en une séquence de n essais identiques;
(2) deux résultats, succès ou échec, sont possibles pour chaque essai;
(3) la probabilité de succès d'un essai, notée p, ne change pas d'un essai à l'autre; et
(4) les essais sont indépendants.
Par exemple, supposons que l'on sache que 10% des propriétaires d'automobiles de deux ans ont eu des problèmes avec le système électrique de leur automobile. Pour calculer la probabilité de trouver exactement 2 propriétaires qui ont eu des problèmes de système électrique sur un groupe de 10 propriétaires, la fonction de masse de probabilité binomiale peut être utilisée en définissant n = 10, x = 2 et p = 0,1;
Dans ce cas, la probabilité est de 0,1937.
La distribution de Poisson
La distribution de probabilité de Poisson est souvent utilisée comme modèle du nombre d'arrivées dans une installation au cours d'une période donnée. Par exemple, une variable aléatoire pourrait être définie comme le nombre d'appels téléphoniques entrant dans un système de réservation d'une compagnie aérienne pendant une période de 15 minutes. Si le nombre moyen d'arrivées pendant un intervalle de 15 minutes est connu, la fonction de masse de probabilité de Poisson donnée par l'équation suivant peut être utilisée pour calculer la probabilité de x arrivées.
Par exemple, supposons que le nombre moyen d'appels arrivant dans une période de 15 minutes soit de 10. Pour calculer la probabilité que 5 appels arrivent dans les 15 prochaines minutes, μ = 10 et x = 5 sont substitués dans l'équation, ce qui donne une probabilité de 0,0378.