La moyenne, la médiane et le mode

La moyenne, la médiane et le mode sont les mesures principales de la tendance centrale d'une série statistique. Ils permettent de simplifier et d’apprécier la série étudiée au moyen d’une valeurs centrale "caractéristiques".

 

Le mode

Le mode correspond à la valeur la plus fréquente d’une distribution. On le qualifie le plus souvent comme la valeur le plus ‘’à la mode’’.

Soit la distribution statistique suivante :

7-3-9-5-4-11-5-6-8-5-10

Le mode de cette distribution est 5

Selon le nombre de mode qu’on trouve dans une distribution, on distingue :

·         La distribution unimodale : c’est une distribution qui présente un seul mode

       

 

·         La distribution bimodale : c’est une distribution qui présente deux modes

 

 

·         Une distribution multimodale : c’est une distribution qui présente plusieurs modes. On la retrouve généralement dans une population composée de plusieurs sous-populations distinctes.

 

Par exemple, le polygone des fréquences ci-dessus, représente la distribution de la taille des individus d’une population. Cette distribution présente trois modes. Ce ci caractérise les différente catégories (sous-populations) de la population : les femmes, les hommes, et les enfants.

La médiane

La médiane correspond à la valeur centrale (le milieu) de la distribution. C’est la valeur de l’échantillon pour laquelle le nombre d’individus à gauche et à droite sont égal.

Pour déterminer la médiane d'un échantillon ou d'une population :

·         On classe les valeurs par ordre croissant ;

·         La valeur qui se trouve au milieu correspond à la médiane

Exemple :

Nous avons mesuré le poids (kg) de 9 personnes choisit aléatoirement d’une population et dont les valeurs suivent :

45-68-89-74-62-56-49-52-63

·         Premièrement nous classons par ordre croissant :

       45-49-52-56-62-63-68-74-89

·        La médiane est la valeur au centre de cette série : 62

Mais si l’effectif est pair, on prend la moyenne entre les deux valeurs centrales :

45-49-52-55-56-62-63-68-74-89

Médiane = (56+62) / 2

Médiane = 59

D’une manière générale, si n est le nombre d'individus dans l'échantillon, la médiane porte le numéro d'ordre

(n+ 1) / 2

 

Pour les effectifs pairs, on calcule la moyenne des deux valeurs adjacentes au centre de la série.

Exemple : Médiane = (56+62) / 2

 

Médiane pour les grands échantillons répartis en classes

Pour les échantillons répartis en classes, il faut :

·         Déterminez le numéro d'ordre de la médiane

·         Déterminez dans quelle classe elle se situe à l'aide du tableau des nombres cumulés

·         Rangez par ordre croissant les éléments (individus) de cette classe

·         Sélectionnez l'élément (individu) correspondant au numéro choisi

Exemple :

Soient les notes obtenues par 49 élèves en mathématique, rangés par classes de largeur 10.

Classe 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90

Effectif 2 4 5 8 7 9 6 6 2

Effectif cumulé 2 6 11 19 26 35 41 47 49

·         Pour trouver la médiane, on applique la formule :

Médiane = (n+ 1) / 2

Médiane = (49+1) / 2

Médiane = 25

·         Sur la colonne des effectifs cumulés, on se rend compte que la médiane est plus proche de 26. Alors la médiane se trouve dans la classe 41-50.

Classe 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90

Effectif 2 4 5 8 7 9 6 6 2

Effectif cumulé 2 6 11 19 26 35 41 47 49

D'après la colonne "effectif cumulé" :

·         20 personnes ont eu 41

·         26 personnes ont eu 50

La médiane se trouve donc dans l'intervalle 41-50 (appelée classe médiane). On va dont déterminer la médiane par interpolation linéaire.

Le premier de cette classe porte le n°20 et nous devons choisir le 25^e

 

X	Y
50	26
Me	25
41	20

 

(Me-41) / (25-20) = (50-41) / 26-20)

(Me-41) / (5) = (9) / (6)

(Me-41) / 5=1,5

Me-41 = 7,5

Me = 48,5

La valeur de la médiane est donc 48,5

La Moyenne

La moyenne (arithmétique) est la somme des valeurs de la variable (effectif total) divisée par le nombre d’individus.

Elle représente la répartition "équitable" de la grandeur mesurée sur tous les individus.

Exemple :

Supposons exemple précédant où on mesure le poids de 9 personnes. Le poids moyen sera :

 = (45+68+89+74+62+56+49+52+63) / 9

 = 62 Kg

Formule :

Pour un échantillon d’effectif total n, la moyenne des variables est :

 = (X₁ +X₂ + X₃ + …. Xn) / n

 = (1/n) ∑X

Dans le cas des classes, on calcule une valeur approximative de la moyenne en calculant la moyenne des valeurs du centre de chaque classe.

Formule :

Si x est le centre de la classe et f le nombre d'individus dans cette classe, la moyenne est:

 = (1/n) ∑ (x.f)

 

Exemple :

On regroupe les données de l’exemple précédent en classe et on obtient le tableau suivant :

Classe 45-55 55-65 65-75 75-85 85-95

Centre 50 60 70 80 90

Nombre 3 3 2 0 1

 = ((3*50) +(3*60) +(2*70) +(0*80) +(1*90)) /9

 

 = 62,2