Interpolation linéaire

L’interpolation linéaire est une méthode simple pour estimer la valeur que peut prendre fonction continue entre deux points déterminés bien définis. L’interpolation linéaire utilise donc une fonction affine de la forme f(x) = ax + b, qui passe par les deux points.

Cette technique est couramment utilisée en statistique descriptive dans la distribution continue pour définir la valeur médiane d’une classe donnée.

Formule de l'interpolation linéaire

Soit une fonction affine F(x) = ax + b et deux A(x_a,y_a) et B(x_b,y_b) appartenant à F(x).

On veut déterminer le point M de coordonnées (x_m ; y_m) appartenant au segment de droite AB tel que : x_b < x_a et x_b ≤ x_m ≤ x_a.

Alors :

→ (Y_m – Y_a) / (X_m – Xa) = (Y_b – Y_a) / (X_b – X_a)

→ (Y_m – Y_a) = ((X_m – Xa) (Y_b – Y_a) / (X_b – X_a))

→ Y_m = Y_a + ((X_m – Xa) (Y_b – Y_a) / (X_b – X_a))

 

Exemple

Soit deux points A (1050 ;35) et B(1800 ;40) appartenant à la fonction affine F(x) = aX + b.

Trouvez Y_m du point M(1500 ;Y_m) appartenant à [AB].

Solution :

→ Y_m = Y_a + ((X_m – Xa)(Y_b – Y_a) / (X_b – X_a))

→ Y_m = 35 + (1500 – 1050)(40 – 35) / (1800 – 1050)

→ Y_m = 35 + (450)(5) / (750)

→ Y_m = 38

Formule équivalente

Y_m = (Y_a(X_b - X_m ) / ( X_b – X_a )) + (Y_b( (X_m – Xa)/(X_b – X_a))

 

Exemple

Cas de l’exemple précédente

Y_m = (Y_a(X_b - X_m ) / ( X_b – X_a )) + (Y_b( (X_m – Xa)/(X_b – X_a))

→ Y_m = (35(1800 - 1500 ) / ( 1800 – 1050 )) + (40( (1500 – 1050)/(1800 – 1050))

→ Y_m = (35(300)/(750)) + (40(450)/(750))

→ Y_m = 14 + 24

→ Y_m = 38

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